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非函数的问题出现的题目

对于一些从形式上看是以,经过适当地变换和构造,可以使这一非函数的问题转化为函数的问题,并运用函数的有关知识来处理这一问题,从而使原问题得到顺利解决。例1已知b>0>e,求证ab>分析与简解:观察发现要求证的不等式>b“两边均是指数式,而指数式与对数式关系密切,从而想到将指数式化成对数式,又因为条件中出现了唯一韵一个数字“e”,所以考虑在不等式两边同时取以e为底的对数。要证ab>6“只要证blna>alnb只要证>,构造函数.):,>e()=,显然当>e)<o所以)在区间(e+)上单调递减.而b>n>e,所以b)>a)>,得证.aD2求证、/一_<V-GT一、/.分析与简解:观察不等式两边式子的结构,都是、/一、/的形式,于是联想用构造函数来解。令厂)-一何≥3)')_1<0,所以f(x)[3+)上单调递减,因此f(a)(02),即一、/二r<、/二一、/二.例3求证、/一、/≥叶一2(>0).分析与简解:注意到a2+与。+之间的关系+..1l__12,不妨设:。+1,则I>2.旷\aa要证、/+一、/≥n+2只要证、/一、/≥一2.只要证、一≥、/一2,令f()=、/(2)则广()=—一1>0,所以I()[2+。。)上单Nx2-2调递增,因此-()2),于是、/一≥、/一2,得证.2010年的高考中突出考查函数思想解决不等式问题的另举两例:例4已知函数)=2-ax+(a-1)lnx1<0<5二证明:对任意的2(0+)且。≠有.>112分析与简解:函数背景下的不等式证明,联想到利用函数的单调性去解决。

由于12,不妨设X1>2要证2)>1的来龙去脉有比较清楚的认识,使得学生对数学家们北京:高等教育出版社,2007.对问题的构思和考虑有了较为接近的理解,更为重要的是对定理的理解和学习产生浓厚的兴趣。基金项目:广西新世纪教改工程“十一五”立项项上单调递减,所以If(x)-f()I>4Ix叫。l等价于_()-f()≥乱广:,问题转化为证明_()+:/f(x)+4x,于是构造函数g())+>0,然后证明函数g()(0+o)上单调递减就可以了.

利用函数思想解数列问题数列可以看作是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数。因此函数与数列之间是一般与特殊的关系,正是这种关系,使函数思想方法成为研究和解决数列问题的重要工具。例1等差数列{an}的前n项的和为sn,若:gSq-~p(pg),求的值.分析一:=[+丛芋d1=一手)+n,所nnLJ\二/Z以表示(Sn_)的点都在一直线上,则,)(g),一是点址一、叼,言争)三点共线,则错,可求得.|q=(p+q).分析二:由等差数列{an}的前n项的和Sn=na+d=n2+(Ⅱ。一手)n可知,当≠0时,Snn的二次函数且常数项为零.于是设sn2+Bn,则由条件列方程得IlSp=Apg22++Bp=q,两式相减得A(p2_q)+(pq)=g,因为Pg,所以A(p+q)+日一1.从而岬(p+q)+(p+q)=(p+q)(p+q)+=(p+q)变:等差数列{%的前n项的和为.sn,其首项。>0.若Pq是两个不等的正整数,且=5,求的值.分析:因为sdn+(0一手)n,考查二次函数l()92:手2+(rzt一手),显然0)0.由已知)q),得对称轴=,所以p+q)0)=0,所以:0.例2数列{od中,口=2,‰I={±,求am,,的值.1(k分析与简解:类比对应的函数递推式厂(x+1)=筹,从而启发我们寻找本题的解题途径.由%“=得~=1,进一步可以推得1II+1一一~去=_易得-=}Z3已知不等式1+1+117,+…十Zn>+n+j1。&(a-1)+争对一切大于1的自然数n都成立.

 
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